Question

Помогите пожалуйста.
Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя

Answer 1

Все переходы - следствия замечательных пределов

a)

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 - 3x^2}{(x - 2)(x - 1)} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x^2(\frac{1}{x^2} - 3)}{x^2(1 - \frac{2}{x})(1 - \frac{1}{x})} = -3$

b)

$\lim\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x^3 - 1} \\t = x - 1, x = t + 1 \\\lim\limits_{t \to 1} \frac{\sqrt[3]{1 + t} - 1}{(1 + t)^3 - 1} = \lim\limits_{t \to 1}  \frac{\frac{1}{3}x}{3x} = \frac{1}{9}$

c)

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{7^{-2x} - 1}{arctg(3x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-2x\ln(7)}{3x} = -\frac{2\ln(7)}{3}$

d)

$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 5x + 4}{tg(x - 1)}\\t = x - 1, x = t + 1\\\lim\limits_{t \to 0} \frac{t(t - 3)}{tg(t)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{t(t - 3)}{t} = \lim\limits_{t \to 0} (t - 3) = -3$

e)

$\lim\limits_{x \to 3} (3x - 8)^{\frac{2}{x - 3}}\\t = x - 3, x = t + 3 \\\lim\limits_{t \to 0} (3t + 1)^{\frac{2}{t}} = \lim\limits_{t \to 0} (((1 + 3t)^{\frac{1}{3t}})^{3t})^{\frac{2}{t}} = \lim\limits_{t \to 0} e^{\frac{6t}{t}} = e^6$