Question

2xlog3 6+log3(4^x-2)<=2x+1

Answer 1

$2xlog_{3}6+log _{3}( 4^{x}-2) \leq2x+1$

ОДЗ :

$4^{x}-2>0\\4^{x}>2\\2^{2x}>2\\2x>1\\x>\frac{1}{2}$

$log_{3} 6^{2x}+log _{3}( 2^{2x}-2) \leq log _{3}(3* 3^{2x})\\\\log_{3}( 12^{2x}-2* 6^{2x}) \leq log_{3}(3* 3^{2x})\\\\12^{2x}-2* 6^{2x} -3*3^{2x} \leq0$

Разделим на $3^{2x} \neq 0$

$4^{2x}-2* 2^{2x}-3 \leq0$

Сделаем замену :

$2^{2x}=m$, m > 0

m² - 2m - 3 ≤ 0

(m - 3)(m + 1) ≤ 0

     +                               -                           +

_______[-1]___(0)___________[3]_________

0 < m ≤ 3

$2^{2x} \leq 3\\\\log_{2} 2^{2x} \leq log _{2}3\\\\2x\leq log _{2}3\\\\x\leq log _{2} \sqrt{3}$

С учётом ОДЗ ответ :

x ∈ $(\frac{1}{2};log _{2} \sqrt{3}]$