Question

Найдите первообразные для f(x), график которой проходит через точку M

Answer 1

2)

$\displaystyle f(x)=4x-1\medskip\\\int\!\! f(x)\mathrm{d}x=\int\!\! (4x-1)\mathrm{d}x\medskip\\F(x)=\int\!\! 4x\mathrm{d}x-\int\!\!\mathrm{d}x=\dfrac{4x^2}{2}-x=2x^2-x+C\medskip\\F(-1)=3\medskip\\2\left(-1\right)^2-(-1)+C=3\medskip\\2+1+C=3\medskip\\C=0\Rightarrow F(x)=2x^2-x$

Ответ. $F(x)=2x^2-x$

3)

$\displaystyle f(x)=\sin 2x\medskip\\\int\!\! f(x)\mathrm{d}x=\int\!\!\sin (2x)\mathrm{d}x\medskip\\F(x)=\dfrac{1}{2}\int\!\!\sin (2x)\mathrm{d}2x=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C\medskip\\F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=5\medskip\\-\dfrac{1}{2}\cos\left(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)+C=5\medskip\\0{,}5+C=5\medskip\\C=4{,}5\Rightarrow F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+4{,}5$

Ответ. $F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+4{,}5$