Question

Тема: Применение методов дифференциального исчисления к решению экстремальных задач с геометрическим содержанием.

Найти наибольшую площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 300 метров? ответ 5625м²

Answer 1

Раз наш участок можно будет огородить забором в 300 метров, то его периметр не должен превышать 300.

Пусть $x$ и $a$ - две стороны нашего участка, тогда $2(x+a)=300\Rightarrow x+a=150$.

Площадь прямоугольника - произведение двух смежных его сторон.

Составим функцию площади нашего участка в зависимости, например, от стороны $x$.

$S(x)=xa$

Но $x+a=150\Rightarrow a=150-x$, следовательно, наша функция принимает вид

$S(x)=x\left(150-x\right)\medskip\\S(x)=150x-x^2$

С помощью производной найдём экстремум данной функции.

$S'(x)=150-2x\medskip\\S'(x)=0\medskip\\150-2x=0\medskip\\2x=150\medskip\\x=75$

Т.к. исходная функция - парабола с опущенными вниз ветвями, то данная точка - максимум функции. Следовательно, при условии периметра в 300 метров, для достижения наибольшей площади участка одна из сторон должна быть равна 75 метров, значит, другая сторона также должна быть 75 метров ($a=150-x\Rightarrow a=150-75=75$).

Получаем максимальную площадь $S_{max}=75\cdot 75=5625$ квадратных метров.

Ответ. $5625$ кв. м.