Question

найдите произведение корней уравнения 17/(x-3)(x+4) - 1/x-3=x/x+4

Answer 1

Найти произведение корней.

$\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - \dfrac{1}{x-3} = \dfrac{x}{x+4};\\\\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - \dfrac{1}{x-3} - \dfrac{x}{x+4} = 0;\\\\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - \left(\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{x}{x+4}\right) = 0;\\\\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - \dfrac{(x+4) + x(x-3)}{(x-3)(x+4)} = 0;\\\\\dfrac{17}{(x-3)(x+4)} - \dfrac{x + 4 + x^2 - 3x}{(x-3)(x+4)} = 0;\\\\\dfrac{17-(x^2 - 2x + 4)}{(x-3)(x+4)} = 0;\\\\\dfrac{17 - x^2 + 2x - 4}{(x-3)(x-4)} = 0;\\\\\dfrac{-(x^2 - 2x - 13)}{(x-3)(x-4)} = 0.$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Знаменатель можем отбросить, предварительно записав ОДЗ, ведь знаменатель не может быть равен нулю: $(x-3)(x-4) \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 3; x \neq 4.$

Теперь найдём значения x, при которых числитель обращается в ноль.

$-(x^2 - 2x - 13) = 0;\\x^2 - 2x - 13 = 0;\\D = [b^2 - 4ac] = (-2)^2 - 4*a*(-13) = 4 + 52 = 56 = (2\sqrt{14})^2;\\x_{1_2} = \left[\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\right] = \dfrac{2\pm 2\sqrt{14}}{2} = 1\pm \sqrt{14} = \left[\begin{array}{ccc}1 + \sqrt{14},\\1 - \sqrt{14}.\end{array}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Теперь найдём произведение корней (не забываем про разность квадратов!!).

$(1 + \sqrt{14})(1 - \sqrt{14}) = 1^2 - (\sqrt{14})^2 = 1 - 14 = \bf\underline{-13}.$

Ответ: -13.