Question

Тема: Применение методов дифференциального исчисления к решению экстремальных задач с геометрическим содержанием.

Найти наибольшую площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 480 метров?

Answer 1

Длина забора - это периметр участка.

Пусть х - длина первой стороны, y - длина второй стороны.

Длину второй стороны можно выразить через периметр и длину первой стороны:

$y=\dfrac{P-2x}{2}=\dfrac{480-2x}{2}=240-x$

Запишем выражение для площади:

$S=xy=x(240-x)$

Рассмотрим функцию от переменной x, для которой найдем экстремум:

$S(x)=x(240-x)=240x-x^2\\S'(x)=240-2x\\240-2x=0\\2x=240\\x=120$

$x_0=120$ - точка экстремума (максимума)

Найдем само значение экстремума (максимума):

$S(x_0)=120\cdot(240-120)=14400\ (\mathrm{m^2})$

На самом деле, наибольшую площадь из прямоугольников при фиксированном периметре имеет квадрат.

Ответ: 14400м²