Question

1)Докажите неравенство.(номер 124 (а))

2)Докажите,что при любом значении а верно неравенство:(номер 125 (а))

Answer 1

#124: Доказать неравенство.

$\dfrac{2a}{1+a^2} \leq 1;\\\dfrac{2a}{1+a^2} - 1 \leq 0;\\\\\dfrac{2a}{1+a^2} - \dfrac{1+a^2}{1+a^2} \leq 0;\\\dfrac{2a - (1 + a^2)}{1+ a^2} \leq 0;\\\\\dfrac{2a - 1 - a^2}{1 + a^2} \leq 0;\\-\dfrac{a^2 - 2a + 1}{1 + a^2} \leq 0;\\\dfrac{a^2 - 2a + 1}{1 + a^2} \geq 0.$

Знаменатель дроби всегда будет больше либо равен 0, так как любое число в квадрате неотрицательно, а если к неотрицательному числу прибавить 1, то получится положительное число.

Осталось доказать, что неотрицательным будет числитель.

$a^2 - 2a + 1 \geq 0;\\(a - 1)^2 \geq 0.$

Увидели формулу квадрата разности, свернули её. Получили верное для любого а неравенство, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Доказано. ∎

#125: Доказать выполнение неравенства для любого значения a.

$\dfrac{(1 + a)^2}{2} \leq 2a;\\(1 + a)^2 \leq 4a;\\a^2 + 2a + 1 \leq 4a;\\a^2 + 2a + 1 - 4a \leq 0;\\a^2 - 2a + 1 \leq 0;\\(a - 1)^2 \leq 0.$

Квадрат числа не может быть меньше нуля, значит полученное неравенство можно переписать в равенство.

$(a - 1)^2 = 0;\\a - 1 = 0;\\a = 1.$

Таким образом, данное неравенство верно только для a = 1, а не для всех а.

Вывод: неравенство не выполняется для всех а.