Question

Алгебра, помогите, буду благодарен!

Answer 1

Найдем длины всех сторон четырехугольника

$|AB|=\sqrt{(2+6)^2+(5-1)^2}=\sqrt{80}\\ |BC|=\sqrt{(4-2)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{40}\\ |CD|=\sqrt{(-4-4)^2+(-5+1)^2}=\sqrt{80}\\ |AD|=\sqrt{(-4+6)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{40}$

Так как противоположные стороны равны, то четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Покажем, что ABCD - прямоугольник. Для этого достаточно найти угол между векторами AB, BC:

$\overrightarrow{AB}=\{2+6;5-1\}=\{8;4\}\\ \overrightarrow{BC}=\{4-2;-1-5\}=\{2;-6\}$

$\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{8\cdot2+4\cdot(-6)}{\sqrt{80}\cdot\sqrt{40}}=\dfrac{-8}{40\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{5\sqrt{2}}$

Угол между векторами AB и BC равен $\arccos(-\frac{1}{5\sqrt{2}})\approx98^\circ$

Следовательно, ABCD не является прямоугольником, а значит является параллелограммом.

Найдем длины диагоналей параллелограмма:

$|AC|=\sqrt{(4+6)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{26}$

$|BD|=\sqrt{(-4-2)^2+(-5-5)^2}=2\sqrt{34}$