Question

$\frac{x {}^{2} }{2} \geqslant \frac{2x + 2}{3}$

Answer 1

$\frac{ {x}^{2} }{2} \geqslant \frac{2x + 2}{3} ( \times 6) \\ \frac{6 {x}^{2} }{2} \geqslant \frac{6 \times (2x + 2)}{3} \\ 3 {x}^{2} \geqslant 2 \times (2x + 2) \\ 3 {x}^{2} \geqslant 4x + 4 \\ 3 {x}^{2} - 4x - 4 \geqslant 0$
Дальше метод интервалов
ОДЗ: х є R
Нули функции:
$3 {x}^{2} - 4x - 4 = 0 \\ d = 16 + 4 \times 4 \times 3 = 16 + 12 \times 4 = 16 + 48 = 64 \\ x1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2 \\ x2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{ - 4}{6} = - \frac{2}{3}$
Нулей парной кратности нету, знаки меняем поочередно на каждем интервале
На крайнем правом интервале [2;+беск) знак +, на интервале (-2/3;2) знак -, а на интервале (-беск;-2/3] знак +
Итого ответ такой: х є (-беск;-2/3] U [2;+беск)