Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^(2)-2x+2, y=x, y=2x-1. Сделать чертёж.

Answer 1

Найдём точки пересечения прямых у=х, у=2х-1 и параболы y=x²-2x+2 .

$x^2-2x+2=x\; \; \to \; \; x^2-x+2=0\; ,\; x_1=1\; ,\; x_2=2\\\\x^2-2x+2=2x-1\; \; \to \; \; x^2-4x+3=0\; ,\; x_1=1\; ,\; x_2=3\\\\2x-1=x\; \; \to \; \; x=1$

Область между заданными линиями (на чертеже закрашена жёлтым цветом) разобьём на две и вычислим её площадь.

$S=\int\limits^2_1\, (2x-1-x)\, dx+\int\limits^3_2\, (2x-1-(x^2-2x+2))\, dx=\\\\=\int\limits^2_1\, (x-1)\, dx+\int\limits^3_2(4x-3-x^2)\, dx=\frac{(x-1)^2}{2}\Big |_1^2+(2x^2-3x-\frac{x^3}{3})\Big |_2^3=\\\\=\frac{1}{2}+(18-9-9)-(8-6-\frac{8}{3})=\frac{1}{2}-2+\frac{8}{3}=\frac{3-12+16}{6}=\frac{7}{6}$