Question

Найти точке разрыва и определить их характер
$y=\frac{x}{sinx}$
$y=arctg(1/x)$

Answer 1

$\sin x=0\\ x=\pi n,n \in \mathbb{Z}$

В зависимости от x = πn достаточно рассмотреть точку разрыва при n=0; x=0.

Находим пределы слева и справа в точке x=0

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sin x}=1\\ \\ \lim_{x \to 0^+}\frac{x}{\sin x}=1$

Функция является непрерывной в точке х=0 и x=0 - точка разрыва второго рода

$y={\rm arctg}(1/x)$

Пусть есть произвольное и положительное $\varepsilon$. Тогда

$\exists ~~x_0>0~~|~~tg(\frac{\pi}{2}-\varepsilon)<\frac{1}{x_0}$

${\rm tg}\frac{1}{x_0}>\frac{\pi}{2}-\varepsilon$

И поскольку, в силу возрастания arctg для 0 < x < x₀ имеем ${\rm arctg}\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}-\varepsilon$

Тогда $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} y(x)=\frac{\pi}{2}$

Аналогично, $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} y(x)=-\frac{\pi}{2}$

Так как пределы не равны, то х=0 - точка разрыва первого рода.