Question

Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями с помощью двойного интеграла: y=√x, y=x³

Answer 1

Найдём точки пересечения графиков функций  $y=\sqrt{x}\; \; ,\; \; y=x^3$  .

$\sqrt{x}=x^3\; \; \to \; \; x^3-\sqrt{x}=0\; ,\; \; \sqrt{x}\cdot (\sqrt{x^5}-1)=0\; ,\\\\x_1=0\; ,\; \; \sqrt{x^5}=1\; \to \; \; x_2=1\\\\S=\iint\limits_{D}\, dx\, dy=\int\limits^1_0\, dx\int\limits^{\sqrt{x}}_{x^3}\, dy=\int\limits^1_0\, dx\Big (y\Big |_{x^3}^{\sqrt{x}}\Big )=\int\limits^1_0(\sqrt{x}-x^3)\, dx=\\\\=(\frac{2, x^{3/2}}{3}-\frac{x^4}{4})\Big |_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$