Question

Окружность касается сторон AB, BC и CA треугольника ABC в точках K, L и M соответственно, причем MK = ML. Докажите, что луч KM – биссектриса угла AKL.

Answer 1

В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

AK = AM = p – BC.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,  

CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

x+y=c               b+c-a

                      ------------

y+z=a ⇒x=              2=p-a

x+z=b