Question

докажите, что уравнение на фото не имеет целых корней

Answer 1

$D=(2^{2018})^2-4*2^{2019}=2^{2018*2}-2^2*2^{2019}=2^{4036}-2^{2021}=\\=2^{2021}*(2^{2015}-1)$

Попробуем взять квадратный корень из этого выражения. Так как оба множителя больше нуля, можем корень из каждого множителя отдельно. Тогда $\sqrt{2^{2021}} =\sqrt{2^{2020}*2}=2^{1010}\sqrt{2}$. Второй множитель - число нечётное (так как 2 в любой степени - число чётное, а из него вычли единицу), значит, в его разложении на множители не найдётся двойки. Следовательно, когда мы возьмём квадратный корень из дискриминанта и представим получившийся результат в виде произведения, в нём обязательно встретится выражение $\sqrt{2}$, которое нельзя скомпенсировать другими множителями до целого числа. Отсюда следует, что оба корня уравнения иррациональны, а значит, не являются целыми.