Question

Теория вероятностей, 50б! Функция распределения вероятности на скриншоте, найти A и плотность распределения.

Answer 1

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):

$F'(x)=(A\sin\frac{x}{2})'=\frac{1}{2}A\cos \frac{x}{2}$

$f(x)=\begin{cases}&\text{}0,~~~x\leqslant-\frac{\pi}{2} \\&\text{}\frac{A}{2}\cos\frac{x}{2},~~~~-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\& \text{}0,~~~~x\geqslant \frac{\pi}{2} \end{cases}$

$\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{-\infty} {f(x)} \, dx =1\\ \\ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} {\frac{A}{2}\cos\frac{x}{2}} \, dx =A\sin \frac{x}{2}\bigg|^{\pi/2}_{-\pi/2}=A\sqrt{2}$

Откуда получаем $A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$