Question

$(x - 2) \sqrt{ {x}^{2} + 2x } = (x + 1) \sqrt{ {x}^{2} - x}$

Answer 1

Возведём обе части в квадрат, получим :

$(x-2)^{2}*( x^{2}+2x)=(x+1) ^{2}*( x^{2}-x)\\(x-2)^{2} *x*(x+2)=(x+1)^{2}*x(x-1)\\(x-2)(x^{2}-4)=(x+1)( x^{2}-1)\\x^{3}-4x-2 x^{2} +8=x^{3}-x+ x^{2}-1\\x^{3}-4x-2 x^{2}+8- x^{3} +x-x^{2}+1=0\\-3x^{2}-3x+9=0\\x^{2}+x-3=0\\D=1^{2}-4*(-3)= 1+12=13\\x_{1}= \frac{-1+\sqrt{13}} {2}\\x_{2}= \frac{-1-\sqrt{13}} {2}$

ОДЗ :

1) x² + 2x ≥ 0

x(x + 2) ≥ 0

x ∈ (- ∞ ; - 2] ∪ [0  ; + ∞)

2) x² - x ≥ 0

x(x - 1) ≥ 0

x ∈ (- ∞ ; 0] ∪ [1 ; + ∞)

Окончательно :

x ∈ (- ∞ ; - 2] ∪ [1 ; + ∞)

Ответ : подходят оба корня