Question

Решить уравнение
$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{x} + (\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }) ^{x} = 2\sqrt{6}$

Answer 1

$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{x} + (\sqrt{\sqrt{6} +\sqrt{5} }) ^{x} = 2\sqrt{6}$
$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} })(\sqrt{\sqrt{6} + \sqrt{5} }) = \\ = \sqrt{ (\sqrt{6} )^{2} - {( \sqrt{5)} }^{2} } = \\ = \sqrt{6 - 5} = 1$

поэтому пусть
$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{x} =y > 0$
тогда
$(\sqrt{\sqrt{6} + \sqrt{5} } ) ^{x} = \frac{1}{y}$

и наше уравнение перепишется так:

$y + \frac{1}{y} = 2 \sqrt{6} \\ \frac{ {y}^{2} + 1}{y} = 2 \sqrt{6} \\ {y}^{2} - 2 \sqrt{6} y + 1 = 0 \\ y_1 = \sqrt{6} + \sqrt{6 - 1} = \\ = \sqrt{6} + \sqrt{5} \\ y_2 = \sqrt{6} - \sqrt{5}$
$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{x} = \sqrt{6} + \sqrt{5} \\( {\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{ \frac{x}{2} } = \frac{1}{\sqrt{6} -\sqrt{5} } \\ ( {\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{ \frac{x}{2} } = ( {\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{ - 1} \\ \frac{x}{2} = - 1 \\ x_1= - 2$
$(\sqrt{\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{x} = ({\sqrt{6} -\sqrt{5} }) \\ ({\sqrt{6} -\sqrt{5} })^{ \frac{x}{2} } = ({\sqrt{6} -\sqrt{5} }) ^{1} \\ \frac{x}{2} = 1 \\ x_2= 2$
Ответ:

$x_{1,2}=±2$