Question

Определите, при любом y квадратный трехчлен
$- \frac{1}{2} {y}^{2} - 3y - 5$
принимает наибольшее значение, и найдите его значение.
С объяснением, пожалуйста.

Answer 1

$f(y) = -\frac12y^2-3y-5$

Так как это парабола и a < 0 ⇒ он направлен вниз ⇒ чтобы найти наибольшее значение нужно просто найти y₀ вершины.

$f(y) = -\frac12y^2-3y-5\\x_0 = -\frac b{2a} = -3\\y_0 = -\frac12*9+9-5 = -\frac12$

⇒ max(f(y)) = $-\frac12$

Answer 2

$- \frac{1}{2} {y}^{2} - 3y - 5 = \\ = - \frac{1}{2} ( {y}^{2} + 6y + 10) = \\ = - \frac{1}{2} ( {y}^{2} + 6y + 9) - \frac{1}{2} = \\ = - \frac{1}{2} (y + 3) ^{2} - \frac{1}{2} \leqslant - \frac{1}{2}$
так как
$- \frac{1}{2} (y + 3) ^{2} \leqslant 0$
поэтому наибольшее значение
$f(y) = - \frac{1}{2} {y}^{2} - 3y - 5$
равно
$- \frac{1}{2}$
и достигается, когда квадрат обращается в ноль, то есть при
$y= - 3$