Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^{2} -2xy+2,5y^{2} -2x$ в области D: x=0,x=2,y=0,y=2. (Надо исследовать функцию на границах области и на угловых точках) Напишите подробное решение

Answer 1

$\begin{cases}z'_x=2x-2y-2=0\\z'_y=-2x+5y=0\end{cases}\\x=y+1\\-2y-2+5y=0\\3y=2\\y=\frac{2}{3}\ \ \ \ \ \ x=1\frac{2}{3}$

Данная точка входит в область D, поэтому находим значение в точке.

$z=\frac{25}{9}-\frac{20}{9}+\frac{10}{9}-\frac{30}{9}=-\frac{15}{9}$

Теперь проверяем границы.

$AB:\\x=0;0\leq y\leq2\\z=2,5y^2\\z'=5y=0\\y=0\\z(0;0)=0\ ;z(0;2)=10\\BC:\\y=2;0\leq x\leq2\\z=x^2-6x+10\\z'=2x-4=0\\x=2\\z(0;2)=10\ ;z(2;2)=2\\CD:\\x=2;0\leq y\leq2\\z=-4y+2,5y^2\\z'=-4+5y=0\\y=\frac{4}{5}\\z(2;0)=0\ ;z(2;\frac{4}{5})=-\frac{8}{5}\ ;z(2;2)=2\\AD:\\y=0;0\leq x\leq2\\z=x^2-2x\\z'=2x-2=0\\x=1\\z(0;0)=0\ ;z(1;0)=-1\ ;z(2;0)=0\\\\z_{max}=10\ (0;2)\\z_{min}=-\frac{15}{9}\ (\frac{5}{3};\frac{2}{3})$