Question

Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y)
(найти все стационарные точки)
Напишите подробное решение

Answer 1

$\begin{cases}z'_x=y(12-2x-y)=0\\z'_y=x(12-x-2y)=0\end{cases}\\1)y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;y=12-2x\\x=0\ \ \ x=12\ \ \ ;x=0(y=12)\ \ \ \ \ x=4(y=4)\\2)x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=12-2y\\y=0\ \ \ \ y=12\ \ ;y=0(x=12)\ \ \ y=4(x=4)\\D(0;0);E(0;12);F(12;0);G(4;4)\\A=z''_{xx}=-2y\\B=z''_{xy}=12-2x-2y\\C=z''_{yy}=-2x$

$D(0;0)\\A=0;B=12;C=0;\mathcal4=-144;\mathcal4<0$

В точке D экстремума нет.

$E(0;12)\\A=-24;B=-12;C=0;\mathcal4=-144;\mathcal4<0$

В точке E экстремума нет.

$F(12;0)\\A=0;B=-12;C=-24;\mathcal4=-144;\mathcal4<0$

В точке F экстремума нет.

$G(4;4)\\A=-8;B=-4;C=-8;\mathcal4=64-16=48;\mathcal4>0;A<0\\z_{max}=16(12-8)=64$

В точке G глобальный максимум.