Question

Найти производные функций: а) методом логарифмического дифференцирования; б) функций, заданных неявно.

Answer 1

$a)\; \; y=x\cdot 10^{\sqrt{x}}\\\\y'=x'\cdot 10^{\sqrt{x}}+x\cdot (10^{\sqrt{x}})'=10^{\sqrt{x}}+x\cdot 10^{\sqrt{x}}\cdot ln10\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\\\\=10^{\sqrt{x}}+\frac{ln10}{2}\cdot \sqrt{x}\cdot 10^{\sqrt{x}}\\\\b)\; \; y=x+arctgy\\\\y'=x'+\frac{1}{1+y^2}\cdot y'\\\\y'=1+\frac{1}{1+y^2}\cdot y'\\\\y'-\frac{1}{1+y^2}\cdot y'=1\\\\y'\cdot (1-\frac{1}{1+y^2})=1\\\\y'\cdot \frac{1+y^2-1}{1+y^2}=1\\\\y'\cdot \frac{y^2}{1+y^2}=1\\\\y'=\frac{1+y^2}{y^2}\\\\y'=\frac{1}{y^2}+1$