Question

доказать, что ((n+1)(n+2)...(2n-1)*2n)/(1*3*5...(2n-1))=2^n

Answer 1

$\frac{(n+1)(n+2)\cdot...\cdot(2n-1)\cdot2n}{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot...\cdot(2n-1)} =2^n\\n \in \mathbb{N}$

Применим индукцию. Запишем равенство для n=k, предполагаю его доказанным, и покажем, что тогда оно верно и для n=k+1, учитывая то, что при n=1 получаем верное равенство.

$\frac{(k+2)(k+3)\cdot...\cdot(2k+1)\cdot2(k+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot...\cdot(2k+1)} =2^{k+1}\\\frac{(k+2)(k+3)\cdot...\cdot(2k-1)\cdot2k\cdot(2k+1)\cdot2(k+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot...\cdot(2k-1)\cdot(2k+1)}=2^{k+1}\\\frac{(k+1)(k+2)(k+3)\cdot...\cdot(2k-1)\cdot2k}{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot...\cdot(2k-1)}\cdot\frac{(2k+1)\cdot 2(k+1)}{2k+1} =2^{k+1}(k+1)\\2^k\cdot2(k+1)=2^{k+1}(k+1)\\2^{k+1}=2^{k+1}$

Доказано.

Таким образом равенство верно, для всех натуральных n.