Question

На столе стоят песочные часы высоты 16 см, представляющие собой два соединенных усеченных одинаковых конуса. Радиус горлышка (отверстия, через которое сыпется песок) равен 1 см. Тангенс угла раствора конусов равен 4/3. Чему равен объем песочных часов в см3? Ответ округлите до ближайшего целого.

Answer 1

См. прикрепленный файл.

Объем усеченного конуса равен

$V=\frac{1}{3} \pi h(r^{2} +rR+R^{2})$ (где h - высота, на рисунке MD=16/2=8 см; r - верхний радиус, на рисунке r=MN/2=1/2=0,5 см, R - радиус основания, на рисунке R=AC/2=?)

ΔАBC равнобедренный (так как конус является фигурой вращения, вокруг центральной оси), значит AM=NC; ∠MAC=∠NCA=$\frac{180-tg(\frac{4}{3}) }{2}= \frac{180-53}{2}=63,5$° (tg(4/3)≈53°)

$tg(63,5)=\frac{MD}{AD}$ ⇒ $AD=\frac{MD}{tg(63,5)}= \frac{8}{2}=4$ см

R=AD+MN/2=4+0,5=4,5 см

$V=\frac{1}{3} \pi 8((0,5)^{2} +0,5*4,5+(4,5)^{2})=\frac{182\pi}{3}$ см³

Объем песочных часов будет равен $V_{p}=2V= \frac{364\pi} {3}$ см³