Question

Известно, что для функции y=ax2 +8x+a-3 наименьшее значение равно -9. Определите значение a и запишите в ответе значение y(0).

Answer 1

Так как есть наименьшее значение функции, очевидно, что ветви параболы направлены вверх, а в точке, где достигается это наименьшее значение, находится вершина параболы.

Вспомним немного теории.

Пусть имеется функция вида: $y = ax^2 + bx + c.$

Формула вершины параболы: $x = -\frac{b}{2a}.$

Рассмотрим наш случай.

Так как ветви параболы направлены вверх, то коэффициент при x² должен быть больше нуля, ОДЗ: a > 0.

Подставим данные: $x = -\frac{8}{2a} = -\frac{4}{a}.$

Мы делим на а! В ОДЗ ничего добавлять не будем, так как а уже и так больше нуля, что исключает случай а = 0.

Зная обе координаты вершины, найдём значение а.

$-9 = a*(-\frac{4}{a})^2 + 8*(-\frac{4}{a}) + a - 3;$

$a*\frac{16}{a^2} - 8*\frac{4}{a} + a - 3 + 9 = 0;$

$\frac{16}{a} - \frac{32}{a} + a + 6 = 0;$

$-\frac{16}{a} + a + 6 = 0;$

Домножим на а.

$-16 + a^2 + 6a = 0;$

$a^2 + 6a - 16= 0;$

$D = [b^2 - 4ac]= 6^2 - 4*(-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2;$

$a_{1,2} = [\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}] = \frac{-6 \pm 10}{2} = -3 \pm 5 = \left[\begin{array}{cc}-8,\\2.\end{array}\right$

Получили 2 значения а: -8 и 2. Вспомним введённое ещё в начале ОДЗ: a > 0. Тогда получаем, что а = 2.

Запишем полученную функцию.

$y = 2x^2 + 8x + 2 - 3 = 2x^2 + 8x - 1.$

Найдём значение y(0).

(это значит найдём значение функции при х = 0)

$y(0) = 2*0^2 + 8*0 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1.$

Ответ: a = 2; y(0) = -1.