Question

как доказать, что треугольник АВК прямоугольный

Answer 1

Из точки М проведено к левой окружности две касательные, по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точке они равны. То же и про правую окружность. Так каккасательная МК  общая, то все три касательные равны. Поэтому точка М равноудалена от вершин АВК,  поэтому М середина стороны и центр описанной около авк окружности, поэтому авк прямоугольный и м середина гипотенузы ав.