Question

В шестизначном числе первая и четвертая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите , что это число кратно числам 7, 11, 13

Answer 1

Так как число кратно 7, 11 и 13, то оно делится на 1001.

Пусть результат деления будет n. Тогда исходное число можно представить как 1001n = (1000 + 1)n = 1000n + n.

Если представить исходное число как $\overline{abcabc}$, это всё равно что $1000\overline{abc}+\overline{abc}$.

Тогда $1000\overline{abc}+\overline{abc}=1000n+n$, откуда $n=\overline{abc}$. Значит, $\overline{abcabc}:1001=\overline{abc}$, т. е. такие числа кратны 7, 11 и 13.