Question

Решите пример: x^2+ 16/x^2 -x- 4/x=12 20 баллов.

Answer 1

$x^2+\frac{16}{x^2}-\left(x+\frac{4}{x}\right)=12.$

Замена $x+\frac{4}{x}=t$; $\Rightarrow t^2=x^2+2x\cdot \frac{4}{x}+\frac{16}{x^2}=x^2+\frac{16}{x^2}+8\Rightarrow x^2+\frac{16}{x^2}=t^2-8;$ уравнение превращается в $t^2-8-t-12=0;\ t^2-t-20=0;\ (t-5)(t+4)=0;\ \left [ {{t=5} \atop {t=-4}} \right.$

1-й случай. $t=5;\ x+\frac{4}{x}=5;\ x^2-5x+4=0;\ (x-1)(x-4)=0;\ \left [ {{x=1} \atop {x=4}} \right.$

2-й случай. $t=-4;\ x+\frac{4}{x}=-4;\ x^2+4x+4=0;\ (x+2)^2=0;\ x=-2.$

Ответ: $\{-2;\ 1;\ 4\}$