Question

Помогите пожалуйста.

Answer 1

Имеем: $\frac{h_a}{b}=\sin C;\ \frac{h_b}{a}=\sin C\Rightarrow a=\frac{h_b}{\sin C};\ b=\frac{h_a}{\sin C}$. Остается воспользоваться формулой для длины биссектрисы

$l_c=\frac{2ab\cos\frac{C}{2}}{a+b}$. Подставив вместо a и b выписанные выражения, получаем

$l_C=\frac{2\frac{h_b}{\sin C}\cdot \frac{h_a}{\sin C}\cdot \cos\frac{C}{2}}{\frac{h_b}{\sin C}+\frac{h_a}{\sin C}}=\frac{2h_ah_b\cos \frac{C}{2}}{(h_a+h_b)\sin C}=\frac{2h_ah_b\cos \frac{C}{2}}{(h_a+h_b)2\sin \frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}=\frac{h_ah_b}{(h_a+h_b)\sin \frac{C}{2}};\\\sin\frac{C}{2}=\frac{h_ah_b}{l_C(h_a+h_b)};\ \frac{C}{2}=\arcsin\frac{h_ah_b}{l_C(h_a+h_b)}.$

Ответ: $C=2\arcsin\frac{h_ah_b}{l_C(h_a+h_b)}$

Замечание. Мы имели право писать, что C/2 равен арксинусу, поскольку C/2 лежит в первой четверти.