Question

Кто знает как доказать? Буду очень благодарна

Answer 1

Доказательство проведем с помощью метода математической индукции. При n=2 неравенство принимает вид $1+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\Leftrightarrow 1>\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 1>\frac{2-1}{\sqrt{2}};\ 1>\frac{1}{\sqrt{2}}$ - верно. Пусть неравенство справедливо при n=k, то есть $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k};$ докажем, что тогда оно справедливо и при n=k+1, то есть что $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots + \frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$

По предположению индукции $(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}})+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$.

Если мы докажем, что $\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1},$ наша цель будет достигнута. Таким образом, достаточно доказать, что $\sqrt{k}>\sqrt{k+1}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\Leftrightarrow \sqrt{k}>\frac{k}{\sqrt{k+1}}\Leftrightarrow \sqrt{k+1}>\sqrt{k},$ что очевидно. На этом доказательство методом математической индукции завершено.

Answer 2

докажем с помощью матиндукции

1) при n=2
$\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} + 1}{ \sqrt{2} } > \sqrt{2}$
действительно,
домножим обе части на
$\sqrt{2}$
$\sqrt{2} + 1 > 2 \\ \sqrt{2} > 1$
это верно

2)пусть теперь
при n=k

$1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{k}$

3) докажем тогда, что при n=k+1

$1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{k} } + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } > \sqrt{k + 1}$

действительно
$(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{k} } )+ \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } > \\ > ( \sqrt{k}) + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} }$
нам нужно по сути доказать
неравенство
$( \sqrt{k}) + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } > \sqrt{k + 1}$

а оно справедливо, так как, домножив его на
$\sqrt{k + 1} > 0$

получим
$\sqrt{k(k + 1)} + 1 > k + 1 \\ \sqrt{k(k + 1)} > k \\ \sqrt{k(k + 1)} > \sqrt{ {k}^{2} } \\ \sqrt{k + 1} > \sqrt{k}$
это неравенство справедливо
для любых натуральных k≥2

поэтому мы доказали наше неравенство
при n=k+1
в предположении, что при n=k оно верно и проверили его при n=2

поэтому неравенство справедливо
для любых натуральных n≥2