Question

Найти первообразную $\int{sin(x)e^x}$

Answer 1

$\int{ \sin(x)e^x}dx = \\ = \int{ \sin(x)}d( {e}^{x} ) = \\ = {e}^{x} \sin(x) - \int{ {e}^{x} d(\cos(x) )} = \\ = {e}^{x} \sin(x) - ( {e}^{x} \cos(x) - \int( - \sin(x) ) {e}^{x} dx) = \\ = {e}^{x} ( \sin(x) - \cos(x) ) - \int{ \sin(x)e^x}dx$
то есть, мы получили:
$\int{ \sin(x)e^x}dx = \\ = {e}^{x} ( \sin(x) - \cos(x) ) - \int{ \sin(x)e^x}dx$
откуда

$2\int{ \sin(x)e^x}dx = {e}^{x} ( \sin(x) - \cos(x) ) \\ \\ \int{ \sin(x)e^x}dx = \\ = \frac{1}{2} {e}^{x} ( \sin(x) - \cos(x) ) + c$