Question

Найдите такое значение а>1, при котором уравнение $a^{x}=log_{a} x$ имеет ровно один корень. Ответ укажите с точностью до десятитысячных. Помогите,пожалуйста, кто в логарифмах шарит.

Answer 1

$a^x=\log_ax$

Поскольку нужно найти a > 1, то функции стоящие справа и слева являются возрастающим, т.е. выпуклые ⇒ единственный корень будет в том случае, когда $y=a^x$ касается прямой f(x) = x.

Пусть $x_0$ абсцисса точки касания. Тогда $y'=(a^x)'=a^x\ln a$ ее значение производной в точке x0: $a^{x_0}\ln a.$

Используя геометрический смысл производной $y'(x_0)=k$, получим

$a^{x_0}\ln a=1~~~\Rightarrow~~ a^{x_0}=\dfrac{1}{\ln a}$

Тогда $a^{x_0}=\log_ax_0~~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{\ln a}=\dfrac{\ln x_0}{\ln a}~~~\Rightarrow~~~ x_0=e$

Тогда приравнивая y = x₀ и y = $\log_ax_0$, получим

$e=\dfrac{\ln e}{\ln a}$ откуда $\dfrac{1}{e}=\ln a~~~\Rightarrow~~~ a=e^{\frac{1}{e}}\approx1.4447$

Ответ: 1.4447