Question

Обозначим через S(n) сумму цифр натурального числа n. Существует ли такое n, что S(n) = 4S(2n)?

Answer 1

Когда мы удваиваем число, то какая-нибудь цифра $d$ становится либо $2d$, либо $2d-10$, либо $2d-9$, если перед ней стояла цифра, ставшая $2d-10$. Мы понимаем, что для равенства сумма цифр должна уменьшиться. Попробуем уменьшить её. Заметим, что цифра 5 может давать либо 0, либо 1, а все цифры, большие 5, соответственно дают больший результат. Тогда пусть в числе будет k пятёрок, а m - сумма остальных цифр. Предположим, что цифра, отличная от пяти, одна. Тогда:

$5k+m=4(k+1+2m-10)\\5k+m=4k+8m-36\\k=7m-36\Rightarrow 7m-36>0\Rightarrow m\geq6 \Rightarrow k\geq6$

Возьмём значения m = 6, k = 6. Рассмотрим число 5555556:

5 * 6 + 6 = 36

4 * S(11111112) = 4 * 9 = 36

Левая и правая части равны, равенство выполнилось, число подходит.

Ответ: существует