Question

3√(2+√5)+3√(2-√5)
Распешите пожалуйста подробно, с обяснениями, очень нужна помошь, правда...

Answer 1

$\sf...=\sqrt[\sf 3]{\sf (0.5+0.5\sqrt{5})^3}+\sqrt[\sf 3]{\sf (0.5-0.5\sqrt{5})^3}=0.5+0.5\sqrt{5}+0.5-0.5\sqrt{5}=1$

Answer 2

Это нужно доказать: $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1;\ x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}};\ y=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}};$

x+y=1; - для упрощение доказываем это.

$x^3+y^3=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}^3+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4;$

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)(x²+2xy+y²-3xy)=(x+y)((x+y)²-3xy)=4;

$xy=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}*\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{2^2-\sqrt{5}^2}=\sqrt[3]{-1}=-1;$

x³+y³=(x+y)((x+y)²-3(-1))=(x+y)((x+y)²+3)=4;

(x+y)³+3(x+y)-4=0; Пусть z=x+y;

z³+3z-4=0; найдем корни.

z³-z²+z²-z+4z-4=0;

z²(z-1)+z(z-1)+4(z-1)=0;

(z-1)(z²+z+4)=0; z=1; первый корень уравнения.

z²+z+4=0; D=1-4*4=-15<0; больше действительных корней нет.

$z=1=x+y=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}};\\\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1;$

что и требовалось доказать.