Question

Найти предел) Без Лопиталей.
$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}$

Answer 1

$\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{(x+a)^{x+a}\cdot (x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}=\lim_{x \to \infty}\frac{(x+a)^{x+a}\cdot (x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{x+a}\cdot (x+a+b)^{x+b}}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to \infty}\frac{1}{(1+\frac{b}{x+a})^{x+a}\cdot(1+\frac{a}{x+b})^{x+b}}=\frac{1}{e^b\cdot e^a}=\frac{1}{e^{a+b}}=e^{-(a+b)}$