Question

$2 \sqrt{3x - {x}^{2} - 2 } = \sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} - 4 + 2x$

Answer 1

$2\sqrt{(x-1)(2-x)}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+(x-1)-(2-x)-[(x-1)+(2-x)];\\\sqrt{x-1}=a\ge 0;\ \sqrt{2-x}=b\ge 0;\ 2ab=a+b+(a^2-b^2)-(a^2+b^2);\\a^2+2ab+b^2=(a+b)+(a-b)(a+b);\ (a+b)^2-(a+b)(1+a-b)=0;\\(a+b)[a+b-(1+a-b)]=0;\ (a+b)(2b-1)=0;\ \left [ {{a+b=0} \atop {2b=1}} \right.$

Первый случай a+b=0 решений не дает, так как a и b неотрицательны и одновременно не обращаются в ноль.

$2b=1\Rightarrow 2\sqrt{2-x}=1;\ 4(2-x)=1;\ 4x=7;\ x=\frac{7}{4}$

Проверка: $2\sqrt{\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}+\sqrt{\frac{1}{4}}-4+2\cdot \frac{7}{4};\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-4+\frac{7}{2};\ 0=0$

Ответ: $\frac{7}{4}$