Question

Решите, пожалуйста, B5 и B6

Answer 1

B5. Заметим, что вершины парабол $5x^2-20x+21$ и $3x^2-12x+28$ находятся в точке x = 2. Тогда минимальное значение левой части уравнения тоже достигается при x = 2:

$\sqrt{5*2^2-20*2+21}+\sqrt{3*2^2-12*2+28}=\sqrt{1}+\sqrt{16}=1+4=5$

Вершина параболы $-2x^2+8x-3$ тоже находится в точке x = 2, значит, её максимальное значение $-2*2^2+8*2-3=5$

Так как минимальное значение левой части совпадает с максимальным значением правой, то корень всего один - x = 2.

B6. ОДЗ: $\begin{equation*}\begin{cases}4x^2+9x+5\geq0\\2x^2+x-1\geq0\\x^2-1\geq0\end{cases}\end{equation*}$

$4x^2+9x+5+2x^2+x-1-2\sqrt{4x^2+9x+5}\sqrt{2x^2+x-1}=x^2-1\\2\sqrt{(4x+5)(x+1)}\sqrt{(x+1)(2x-1)}=5x^2+10x+5=5(x+1)^2\\4(x+1)^2(4x+5)(2x-1)=25(x+1)^4$

Заметим, что x = -1 является корнем уравнения. Учитывая это, поделим на (x+1)².

$4(4x+5)(2x-1)=25(x+1)^2\\32x^2+24x-20=25x^2+50x+25\\7x^2-26x-45=0\\D_{/4}=13^2+7*45=484=22^2\\x_{1}=\frac{13+22}{7}=5; x_{2}=\frac{13-22}{7}=-\frac{9}{7}$

Проверку ОДЗ проходят только корни -1; 5. Их сумма равна 4.

Ответ: B5. 2; B6. 4