Question

3 sinx + 2 cosx = 3.

Answer 1

$3\sin x+2\cos x=3$

Поделим все части на корень из суммы квадратов коэффициентов перед тригонометрическими функциями.

$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

$\dfrac{3}{\sqrt{13}}\sin x+\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$

Сделали это для того, чтобы теперь наш корень из суммы квадратов коэффициентов был равен единице. Проверим:

$\sqrt{\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+4}{13}}=\sqrt{\dfrac{13}{13}}=\sqrt{1}=1$

Так как это верное равенство, значит, числа $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ и $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ лежат на единичной окружности. Соответственно, существует такой угол $\varphi$, что, например, $\sin\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ и $\cos\varphi=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$. Отсюда возьмём $\varphi=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}$.

$\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\\cos\left(x-\varphi\right)=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\medskip\\x-\varphi=\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\varphi\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\medskip\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}\pm\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}$

Можно наш ответ "разорвать" и привести к более благородному виду:

$\left[\begin{gathered}x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}+\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}$

$\left[\begin{gathered}x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\\x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\end{gathered}$

Ответ. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\,;~x=2\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{13}}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}$