Question

Решите,пожалуйста,уравнение ЕГЭ(профиль)
$\frac{(x-1)^{2} }{8} +\frac{8}{(x-1)^{2}} =7(\frac{x-1}{4} -\frac{2}{x-1} )-1$

Answer 1

Пусть $\frac{x-1}{4}-\frac{2}{x-1}=t$. Тогда

$t^2=\frac{(x-1)^2}{16}-2*\frac{x-1}{4}*\frac{2}{x-1}+\frac{4}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2}{16}+\frac{4}{(x-1)^2}-1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t^2+1=\frac{(x-1)^2}{16}+\frac{4}{(x-1)^2}\Leftrightarrow 2(t^2+1)=2t^2+2=\frac{(x-1)^2}{8}+\frac{8}{(x-1)^2}$

$2t^2+2=7t-1\\2t^2-7t+3=0\\D=(-7)^2-4*2*3=49-24=25=5^2\\t_{1}=\frac{7+5}{4}=3;t_{2}= \frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$

1) $\frac{x-1}{4}-\frac{2}{x-1}=3\\ \frac{(x-1)^2-8}{4(x-1)}-3=0\\ \frac{(x-1)^2-12(x-1)-8}{4(x-1)}=0$

Пусть $x-1=a$

$a^2-12a-8=0\\D_{/4}=(-6)^2+8=44\\a_{1}=6\pm2\sqrt{11}\\x-1=6\pm2\sqrt{11}\\x=7\pm2\sqrt{11}$

2) $\frac{x-1}{4}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{2}\\\frac{(x-1)^2-8}{4(x-1)}-\frac{1}{2}=0\\\frac{(x-1)^2-2(x-1)-8}{4(x-1)}=0\\a^2-2a-8=0\\(a-1)^2-9=0\\(a-4)(a+2)=0\\a_{1}=x-1=4\Leftrightarrow x=5\\a_{2}=x-1=-2\Leftrightarrow x=-1$

Все корни проходят проверку x ≠ 1.

Ответ: $-1; 5; 7\pm2\sqrt{11}$