Question

В одной стране две партии правят поочередно по одному году. Первая тратит за год n-ю часть золотого запаса страны, а вторая k-ю часть (n,k ∈ N). Известно, что через 20 лет их правления золотой запас уменьшился в 1024 раза. Во сколько раз уменьшится золотой запас через 21 год? Ответ записать в виде десятичной дроби.

Answer 1

Пусть золотой запас страны равен х.

Каждый год правления первой партии запас становится равным:
$x - \frac{x}{n} = x(1 - \frac{1}{n} ) = x \times \frac{n - 1}{n}$
Т. е. он умножается на
$\frac{n - 1}{n}$

Каждый год правления второй партии запас становится равным:
$x - \frac{x}{k} = x(1 - \frac{1}{k} ) = x \times \frac{k - 1}{k}$
Т. е. он умножается на
$\frac{k - 1}{k}$

Пусть изначально бюджет равнялся х, тогда через 20 лет он станет равным:
$x \times {( \frac{n - 1}{n} ) }^{10} \times {( \frac{k - 1}{k} )}^{10} = \frac{ x}{1024}$
по условию.

${ (\frac{(n - 1) (k - 1)}{nk} )}^{10} = \frac{1}{1024} \\ { (\frac{(n - 1) (k - 1)}{nk} )}^{10} = { (\frac{1}{2}) }^{10} \\ \frac{(n - 1)(k - 1)}{nk} = \frac{1}{2} \\ nk = 2(n - 1)(k - 1) \\ nk = 2nk -2 n -2 k + 2 \\ nk - 2n - 2k + 2 = 0 \\ n(k - 2) - 2(k - 2) - 2= 0 \\ (n - 2)(k - 2) = 2$
(когда мы убирали 10 степень, мы использовали то, что числа натуральны, а значит положительны)

Т. к. n и k - натуральные числа, то одно из них равно 3, а другое 4. Получается одна из партий тратит 1/3 часть запаса, а другая тратит 1/4 запаса. Это означает, что через 21 год их золотой запас будет равен
$\frac{x}{1024} \times \frac{4 - 1}{4} = \frac{3x }{4096} = \frac{x}{1365.(3)}$
или
$\frac{x}{1024} \times \frac{3 - 1}{3} = \frac{2x}{3 \times 1024} = \\ = \frac{x}{3 \times 512} = \frac{x}{1536}$
в зависимости от того, какая партия правит в 21 году.

Золотой запас уменьшится в 1365.(3) или в 1536 раза.

Ответ: в 1365.(3) или в 1536 раза.