Question

Помогите пожалуйста! Составьте многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами,имеющий корни X1=-(2/3) и X2=2-√3.

Answer 1

$x_1=-\dfrac 23;~~~~x_2=2-\sqrt3$

$(x-x_1)(x-x_2)=0\\\\\bigg(x-\Big(-\dfrac 23\Big)\bigg)\Big(x-(2-\sqrt3)\Big)=0\\\\\bigg(x+\dfrac 23\bigg)\Big(x-2+\sqrt3\Big)=0~~~~\bigg|\cdot 3\\\\\Big(3x+2\Big)\Big(x-2+\sqrt3\Big)=0~~~~\Big|\cdot (x-2-\sqrt3)$

Такой множитель позволяет избавиться от иррациональности во второй скобке, но добавляет ещё один корень многочлена, третий.

$\Big(3x+2\Big)\Big((x-2)+\sqrt3\Big)\Big((x-2)-\sqrt3\Big)=0\\\\\Big(3x+2\Big)\Big((x-2)^2-(\sqrt3)^2\Big)=0\\\\\Big(3x+2\Big)\Big(x^2-4x+1\Big)=0$

Получились все коэффициенты целые, достаточно просто перемножить скобки

$(3x+2)(x^2-4x+1)=\\=3x^3+2x^2-12x^2-8x+3x+2=\\\\=\boxed{\boldsymbol{3x^3-10x^2-5x+2}}$

Многочлен третьей степени имеет 3 корня : один рациональный и два сопряжённых иррациональных

$x_1=-\dfrac 23;~~x_2=2-\sqrt3;~~x_3=2+\sqrt3$