Question

при каких параметрах а график квадратного трехчлена y=ax^2+(a-3)x+a лежит выше оси абсцисс

Answer 1

Если график лежит выше оси абсцисс, a строго положителен, иначе график будет либо прямой (лежит как выше, так и ниже Ox), либо параболой с ветвями, направленными вниз (то есть обязательно лежит ниже Ox). Парабола с ветвями, направленными вверх, лежит выше Ox, если не имеет пересечений с этой осью, то есть дискриминант квадратного уравнения отрицателен. Таким образом,

$\begin{equation*}\begin{cases}D<0\\a>0\end{cases}\end{equation*} \Leftrightarrow \begin{equation*}\begin{cases}(a-3)^2-4a^2<0\\a>0\end{cases}\end{equation*}\Leftrightarrow \begin{equation*}\begin{cases}(a-3+2a)(a-3-2a)<0\\a>0\end{cases}\end{equation*}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{equation*}\begin{cases}(3a-3)(-a-3)<0\\a>0\end{cases}\end{equation*}\Leftrightarrow \begin{equation*}\begin{cases}(a-1)(a+3)>0\\a>0\end{cases}\end{equation*} \Rightarrow a>1$

Ответ: $a > 1$