Question

Задачи на непосредственное вычисление вероятностей

Answer 1

Решение задачи на рисунке в приложении.

В таблице заполнено решение по формуле полной вероятности и формуле Байеса и, поэтому, можно ответить на вопросы не только данной задачи.

РЕШЕНИЕ

Задача состоит из двух событий:

Р1 - взять любую деталь из партии. Эта вероятность зависит от количества деталей в партии.  n1 = 3x  n2 = 1x

Всего деталей - n = 4x,   P11 = 3/4 = 0.75, P12 = 1/4 = 0.25.

Проверяем по формуле полной вероятности: Р1 = 0,75+0,25 = 1 - всё правильно - других вариантов нет. (Не берем "чужие" детали)

Далее - вероятность брака - дана. q21 = 0.06, q22 = 0.002

Вероятность стандарта (не брак)  находим по формуле: p21 = 1 - 21 = 0.94, p22 = 0.98

ЗАПОМИНАЕМ на всю жизнь.

Вероятность событий "И" - равна произведению вероятностей каждого. Вероятность событий "ИЛИ" - равна сумме вероятностей каждого.

Возвращаемся к задаче. Наше событие - И любая И брак ИЛИ с первого ИЛИ со второго автомата. В задаче ЛЮБАЯ деталь оказалась БРАК.

Sq = p11*q21 + p21*q22 = 0.045 + 0.005 = 0.05  - вероятность "любая брак". - И это ответ на вопрос а) р = 0,05 - ОТВЕТ

Не поленимся и находим решение - ЛЮБАЯ СТАНДАРТ (для понятий)

Sp = 0.705 + 0.245 = 0.95 - вероятность "любая стандарт".

Проверяем по формуле полной вероятности и получаем:

P(A) = Sp + Sq = 0.95 + 0.05 = 1 - всё правильно.

Переходим к вопросу б) - кто же изготовил эту бракованную деталь. Это уже - формула Байеса. Возвращаемся к столбику ЛЮБАЯ БРАК.

Из всех бракованных деталей Q1 = 0,045 делает первый, а Q2 = 0.005 - второй автомат. Находим долю брака у первого автомата

Q1/Sq = 0.045 / 0.05 = 0.9 - случайный брак первого автомата - ОТВЕТ

Случайныё брак второго автомата всего 0,1. Проверяем по формуле полной вероятности:  Р(брак) = 0.9+0.1 = 1 - других бракоделов нет.

Здесь же видим, что вероятность любой и стандартной детали для первого автомата равна  0,742, а для второго - 0,258.

Вот такое универсальное решение для множества задач состоящих из двух событий.