Question

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Answer 1

$\int \frac{x^3+6}{x^2+5x-6}\, dx=\int (x-5+\frac{31x-24}{(x+6)(x-1)})\, \, dx=Q\\\\\\\frac{31x-24}{(x+6)(x-1)}=\frac{A}{x+6}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+6)}{(x+6)(x-1)}\; ;\\\\31x-24=A(x-1)+B(x+6)\; ;\\\\x=1:\; \; 31-24=B(1+6)\; ,\; \; B=\frac{7}{7}=1\; ;\\\\x=-6:\; \; -31\cdot 6-24=A(-6-1)\; ,\; \; A=\frac{210}{7}=30\; ;\\\\\\Q=\int (x-5+\frac{30}{x+6}+\frac{1}{x-1})\, dx=\frac{x^2}{2}-5x+30\, ln|x+6|+ln|x-1|+C=\\\\=\frac{x^2}{2}-5x+ln\, \frac{|x+6|^{30}}{|x-1|}+C\; .$

$Proverka:\\\\\Big (\frac{x^2}{2}-5x+30\, ln|x+6|+ln\, |x-1|+C\Big )'=\\\\=x-5+\frac{30}{x+6}+\frac{1}{x-1}=\frac{(x-5)(x+6)(x-1)+30(x-1)+x+6}{(x+6)(x-1)}=\\\\=\frac{x^3-5x^2+5x^2-25x-6x+30+30x-30+x+6}{(x+6)(x-1)}=\frac{x^3+6}{x^2+5x-6}$