Question

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Answer 1

$\int \frac{arctg^32x}{1+4x^2}\, dx=\Big [\, t=arctg2x,\; dt=\frac{2\, dx}{1+4x^2}\, \Big ]=\frac{1}{2}\cdot \int t^3\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^4}{4}+C=\\\\=\frac{1}{8}\cdot arctg^42x+C$

$Proverka:\\\\\Big (\frac{1}{8}\cdot arctg^42x+C\Big )'=\frac{1}{8}\cdot 4\, arctg^32x\cdot \frac{2}{1+(2x)^2}=\frac{arctg^32x}{1+4x^2}$