Question

Решите пожалуйста, очень нужно

Answer 1

$1)\; \; \iint \limits _{G}\, y\, dx\, dy=\int\limits^2_{-2}\, dx\int\limits_{x^2}^4\, y\, dy=\int\limits^2_{-2}\, dx\Big (\frac{y^2}{2}\Big )\Big |_{x^2}^4=\int\limits^2_{-2}\, \Big (\frac{1}{2}\cdot (16-x^4)\Big )dx=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^2_{-2}\,(16-x^4)dx=\frac{1}{2}\cdot (16x-\frac{x^5}{5})\Big |_{-2}^2=\frac{1}{2}\cdot (32-\frac{32}{5})-\frac{1}{2}\cdot (-32+\frac{32}{5})=\\\\=2\cdot (\frac{1}{2}\cdot \frac{128}{5})=\frac{128}{5}=25,6$

$2)\; \; Tochki\; peresecheniya:\; \; x=\frac{1}{x}\; \to \; \; x^2=1\; ,\; x=\pm 1\; ,\; y=\pm 1\\\\\{y=x\; ,\; y=4\}\; \; \to \; \; x=4\\\\\{y=\frac{1}{x}\; ,\; \; y=4\}\; \; \to \; \; x=\frac{1}{4}\\\\\iint \limits _{G}\, (x+y)\, dx\, dy=\int\limits^{4}_{1}\, dy\int\limits^{y}_{1/y}\, (x+y)dx=\int\limits^4_1\, dx\Big (\frac{x^2}{2}+yx\Big )\, \Big |_{1/y}^{y}=\\\\=\int\limits^4_1\, (\frac{y^2}{2}+y^2-\frac{1}{2y^2}-1)\, dy= \int\limits^4_1\, (\frac{3}{2}\, y^2-\frac{1}{2}\, y^{-2}-1)\, dy=$

$=(\frac{3}{2}\cdot \frac{y^3}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{y}-y)\Big |_1^4=\frac{64}{2}+\frac{1}{8}-4-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1)=\\\\=32-4+\frac{1}{8}=28\frac{1}{8}=28,125$