Question

Найти остаток от деления числа 4^67 на число 7

Answer 1

$4^3=64=63+1=7\cdot 9+1\equiv 1 (mod\ 7)$, то есть это число дает остаток 1 при делении на 7 $\Rightarrow 4^{66}=(4^3)^{22}\equiv 1^{22}=1  (mod\ 7)\Rightarrow 4^{67}=4^{66}\cdot 4\equiv 1\cdot 4=4 (mod\ 7).$ Поэтому остаток от деления данного числа на 7 равен 4.

Если Вы не знакомы с таким способом, можно рассуждать так:

$4^{67}=4^{66+1}=4^{3\cdot 22}\cdot 4=64^{22}\cdot 4=(63+1)^{22}\cdot 4=(7\cdot 9+1)^{22}\cdot 4 =(7A+1)\cdot 4=28A+4$

Происхождение 7A объясняется так: когда Вы возводите скобку в 22-ю степень, получается куча слагаемых, причем во все слагаемые кроме одного входит множителем 7.

Ответ: 4