Question

Пожалуйста помогите решить

Answer 1

$1) \ \text{lg}(2x-1) = 3(\text{lg}4 - \text{lg}2)$

ОДЗ: $2x - 1 > 0\\2x > 1\\x > 0,5$

$\text{lg}(2x - 1) = 3\text{lg}4 - 3\text{lg}2\\\text{lg}(2x - 1)= \text{lg}4^{3} - \text{lg}2^{3}\\\text{lg}(2x - 1) = \text{lg}64 - \text{lg}8\\\text{lg}(2x - 1) = \text{lg}\dfrac{64}{8}\\\text{lg}(2x - 1) = \text{lg} 8\\2x - 1 = 8\\2x = 9\\x = 4,5$

Ответ: $x = 4,5$

$2) \ \text{log}_{2}(x^{2} + 4x + 3) = 3$

ОДЗ: $x^{2} + 4x + 3 > 0$ (это неравенство можно решить методом интервалов, но это "труднее", чем решить само логарифмическое уравнение; в результате нужно подставить полученный ответ в неравенство и проверить его истинность).

$\text{log}_{2}(x^{2} + 4x + 3) = \text{log}_{2}2^{3}\\\text{log}_{2}(x^{2} + 4x + 3) = \text{log}_{2}8\\x^{2} + 4x + 3 = 8\\x^{2} + 4x - 5 = 0\\x_{1} = -5; \ x_{2} = 1$

Подставляем полученные ответы в ОДЗ и проверяем их истинность:

$1) \ (-5)^{2} + 4 \ \cdotp (-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 > 0$ (подходит)

$2) \ 1^{2} + 4 \ \cdotp 1 + 3 = 1 + 4 + 3 = 9>0$ (подходит)

Ответ: $x_{1} = -5; \ x_{2} = 1$

$3) \ \text{log}_{3}^{2}x - 3\text{log}_{3}x = -2\\\text{log}_{3}^{2}x - 3\text{log}_{3}x + 2 = 0$

Замена: $\text{log}_{3}x = t$

$t^{2} - 3t + 2 = 0\\t_{1} = 1; \ t_{2} = 2$

Обратная замена:

$1) \ \text{log}_{3}x = 1\\x = 3$

$2) \ \text{log}_{3}x = 2\\x = 9$

Ответ: $x_{1} = 3; \ x_{2} = 9$