Question

Найдите наименьшее из натуральных чисел, разложение на простые множители которых имеет вид 3^m×5^n(m,n принадлежит N) и число делителей равно 6.

Answer 1

Число $3^{m}\cdot 5^n$ имеет $(m+1)(n+1)$ число делителей и по условию равно 6.

Т.е. решим уравнение $(m+1)(n+1)=6$ в натуральных числах. Для $m,n \in \mathbb{N}$ имеем две системы уравнений.

$\displaystyle \left \{ {{m+1=3} \atop {n+1=2}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{m=2} \atop {n=1}} \right.\\ \\ \left \{ {{m+1=2} \atop {n+1=3}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{m=1} \atop {n=2}} \right.$

Имеем $3^2\cdot 5=45$ или $3\cdot 5^2=75$ откуда наименьшее число это 45.

Ответ: 45.