Question

Найти предел
$\lim_{x \to a} \frac{x^{\alpha}-a^{\alpha}} {x^{\beta }-a^{\beta }}$
$a\ \textgreater \ 0$

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{x^\alpha-a^\alpha}{x^\beta-a^\beta}=\left\{\begin{array}{ccc}x-a=t\\ t\to0\end{array}\right\}=\lim_{t \to 0}\dfrac{a^{\alpha-\beta}((1+\frac{t}{a})^\alpha-1)}{(1+\frac{t}{a})^{\beta}-1}=\\ \\ =a^{\alpha-\beta}\lim_{t \to 0}\frac{\alpha\cdot\frac{t}{a}+o(t)}{\beta\cdot\frac{t}{a}+o(t)}=\frac{\alpha}{\beta}a^{\alpha-\beta}$

Answer 2

Используем правило Лопиталя и основное свойство степеней (это самый простой способ)