Question

Помогите, пожалуйста, решить 15 задание из КИМа ЕГЭ

Answer 1

Пусть $3^x=t\Rightarrow t>0$

$\frac{50t-100+\frac{50}{t}}{t+\frac{1}{t}+2}\leq\frac{15t-15}{t+1}+\frac{20+30t}{t+1}\\\frac{50t^2-100t+50}{t^2+2t+1}\leq\frac{45t+5}{t+1}\\\frac{50t^2-100t+50-(45t+5)(t+1)}{(t+1)^2}\leq0\\\frac{50t^2-100t+50-45t^2-50t-5}{(t+1)^2}\leq0\\\frac{5t^2-150t+45}{(t+1)^2}\leq0|*\frac{(t+1)^2}{5}\\t^2-30t+9\leq0\Rightarrow t\in[15-6\sqrt{6}; 15+6\sqrt{6}]$

Проверим левую границу на положительность:

$\sqrt{5,76}<\sqrt{6}<\sqrt{6,25}\Leftrightarrow 2,4<\sqrt{6}<2,5 \Leftrightarrow -15<-6\sqrt{6}<-14,4\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 0<15-6\sqrt{6}<0,6\Rightarrow 15-6\sqrt{6}>0$

$15-6\sqrt{6} \leq 3^x \leq 15+6\sqrt{6} \Rightarrow \log_{3}{(15-6\sqrt{6})}\leq x \leq \log_{3}{(15+6\sqrt{6})}$

Ответ: $x\in[\log_{3}{(15-6\sqrt{6})}; \log_{3}{(15+6\sqrt{6})}]$